Question

如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB為直徑的⊙O經過點C.過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P.點D為圓上一點，且，弦AD的延長線交切線PC于點E，連接BC．
（1）判斷OB和BP的數量關系,并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為2，求AE的長．

Answer 1

（1）OB=BP，理由見解析（2）3

解：（1）OB=BP。理由如下：連接OC，

∵PC切⊙O于點C，∴∠OCP=90°。
∵OA=OC，∠OAC=30°，∴∠OAC=∠OCA=30°。
∴∠COP=60°。∴∠P=30°。
在Rt△OCP中，OC=OP=OB=BP。
（2）由（1）得OB=OP。
∵⊙O的半徑是2，∴AP=3OB=3×2=6。
∵，∴∠CAD=∠BAC=30°。∴∠BAD=60°。
∵∠P=30°，∴∠E=90°。
在Rt△AEP中，AE=AP=×6=3。
（1）首先連接OC，由PC切⊙O于點C，可得∠OCP=90°，又由∠BAC=30°，即可求得∠COP=60°，∠P=30°，然后根據直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，證得OB=BP。
（2）由（1）可得OB=OP，即可求得AP的長，又由，即可得∠CAD=∠BAC=30°，從而求得∠E=90°，從而在Rt△AEP中求得答案。