Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6、AC=8，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q，過點(diǎn)Q作QR∥BA交AC于R，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)BQ=x，QR=y。

（1）若B、K兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，0）、（5，5），C點(diǎn)在x軸的正半軸上，求經(jīng)過K、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）求點(diǎn)D到BC的距離DH的長；
（3）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（4）是否存在點(diǎn)P，使△PQR為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）在Rt △ABC中，BC= ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10，0）， 設(shè)經(jīng)過K、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）， 將點(diǎn)K（5，5）、B（0，0）、C（10，0）代入得 解得 ∴經(jīng)過K、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=-+2x；
（2）∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)， ∴BD=AB=3， ∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B， ∴△BHD∽△BAC， ∴ ∴；
（3）∵QR//AB， ∴ ∠QRC=∠A=90°， ∵∠C=∠C， ∴△RQC∽△ABC， ∴ ∴ ∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=；
（4）存在，分三種情況： ①如圖（a），當(dāng)PQ= PR時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥QR于M，則QM=RM， ∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°， ∴cos∠1=cos∠C=， ∴， ∴ ∴， ②如圖（b），當(dāng)PQ=RQ時(shí)， ∴x=6， ③如圖（c），當(dāng)PR=QR時(shí)，則R為PQ中垂線上的點(diǎn)，于是點(diǎn)R為EC的中點(diǎn)， ∴CR=CE=AC，AC=2， ∵tan∠C=， ∴ ∴ 綜上，當(dāng)x為或6或時(shí)， ∴△PQR為等腰三角形。