Question

（2006•黃岡）我市英山縣某茶廠種植“春蕊牌”綠茶，由歷年來市場銷售行情知道，從每年的3月25日起的180天內，綠茶市場銷售單價y（元）與上市時間t（天）的關系可以近似地用如圖①中的一條折線表示．綠茶的種植除了與氣候、種植技術有關外，其種植的成本單價z（元）與上市時間t（天）的關系可以近似地用如圖②的拋物線表示．
（1）直接寫出圖①中表示的市場銷售單價y（元）與上市時間t（天）（t＞0）的函數關系式；
（2）求出圖②中表示的種植成本單價z（元）與上市時間t（天）（t＞0）的函數關系式；
（3）認定市場銷售單價減去種植成本單價為純收益單價，問何時上市的綠茶純收益單價最大？
（說明：市場銷售單價和種植成本單價的單位：元/500克．）

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意的y與x之間的函數關系式為分段函數．
（2）依題意得z與a之間的函數關系式，如圖得出該函數經過的坐標得出a的值．
（3）設純收益單價為W元，則W=銷售單價-成本單價，根據y與x的函數關系式為分段函數可得w與x也為分段函數．
解答：解：（1）依題意，可建立函數關系式：
y=．

（2）由題目已知條件可設z=a（t-110）²+20，
∵圖象過點（60，），
∴=a（60-110）²+20，
∴a=，
∴z=（t-110）²+20（t＞0）．

（3）設純收益單價為W元，則W=銷售單價-成本單價，
故W=，
①當W=-（t-10）²+100（0＜t＜120）時，有t=10時，W最大，最大值為100；
②當W=-（t-110）²+60（120≤t＜150）時，由圖象知，有t=120時，W最大，最大值為59；
③當W=-（t-170）²+56（150≤t≤180）時，有t=170時，W最大，最大值為56；
綜上所述，在t=10時，純收益單價最大，最大值為100元/500g．
點評：本題考查的是二次函數的運用，由于計算量大，考生在做這些題的時候要耐心細心．難度中上．此題是分段函數，題目所涉及的內容在求解過程中，要注意分段函數問題先分段解決，最后再整理、歸納得出最終結論，另外還要考慮結果是否滿足各段的要求，這是解此類綜合應用題目的特點．