Question

（2007•黃岡）我市高新技術開發區的某公司，用480萬元購得某種產品的生產技術后，并進一步投入資金1520萬元購買生產設備，進行該產品的生產加工，已知生產這種產品每件還需成本費40元．經過市場調研發現：該產品的銷售單價，需定在100元到300元之間較為合理．當銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；當銷售單價超過100元，但不超過200元時，每件新產品的銷售價格每增加10元，年銷售量將減少0.8萬件；當銷售單價超過200元，但不超過300元時，每件產品的銷售價格每增加10元，年銷售量將減少1萬件．設銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利為w（萬元）．（年獲利=年銷售額-生產成本-投資成本）
（1）直接寫出y與x之間的函數關系式；
（2）求第一年的年獲利w與x間的函數關系式，并說明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤是多少？若虧損，最少虧損是多少？
（3）若該公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小虧損）后，兩年的總盈利不低于1842元，請你確定此時銷售單價的范圍．在此情況下，要使產品銷售量最大，銷售單價應定為多少元？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，列出分段函數．
（2）根據條件，求出二次函數解析式，從中找出最值以及相應的自變量范圍．
（3）分情況進行討論，找出最值以及相應的自變量取值范圍．
解答：解：（1）這個顯然是一個分段函數，
y=20-
=-0.08x+28
100≤x＜200，
可見x=200元時，y=28-16=12（萬件）
y=12-=-0.1x+32，200≤x≤300．

（2）投資成本為480+1520=2000萬元
y=-0.08x+28，100≤x＜200，
w=xy-40y-2000
=（x-40）（-0.08x+28）-2000
=-0.08x²+31.2x-3120
=-0.08（x-195）²-78
可見第一年在100≤x＜200注定虧損，x=195時虧損最少，為78萬元
200≤x≤300，y=-0.1x+32，
w=xy-40y-2000
=（x-40）（-0.1x+32）-2000
=-0.1x²+36x-3280
=-0.1（x-180）²-40
可見第一年在200≤x≤300注定虧損，x=200時虧損最少，為80萬元
綜上可見，x=195時虧損最少，為78萬元．

（3）兩年的總盈利不低于1842萬元，可見第二年至少要盈利1842+78=1920萬元，既然兩年一塊算，第二年我們就不用算投資成本那2000萬元了．
第二年：
100≤x≤200時
第二年盈利=xy-40y=-0.08（x-195）²+1922≥1920
解不等式得到：190≤x≤200
200≤x≤300時
第二年盈利=xy-40y=-0.1（x-180）²+1960≥1920
解不等式得到：160≤x≤200，聯合200≤x≤300，也就只有x=200
綜上有190≤x≤200為解
這時候再看y=-0.08x+28，可見x=190時，y最大，為12.8
所以定價190元時候，銷售量最大．
點評：此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．