Question

（2012•梧州）如圖，AB是⊙O的直徑，CO⊥AB于點O，CD是⊙O的切線，切點為D．連接BD，交OC于點E．
（1）求證：∠CDE=∠CED；
（2）若AB=13，BD=12，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，利用切線的性質和圓的半徑相等得到的等腰三角形即可證明∠CDE=∠CED；
（2）連接AD，利用圓周角定理和已知條件證明△ABD∽△EBO，利用相似三角形的性質即可求出EB的長，進而求出DE的長．

解答：（1）證明：連接OD，
∵CD是⊙O的切線，切點為D．
∴∠ODC=90°，
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，
∵OC⊥AB，
∴∠CED=∠OEB=90°-∠B，
∵∠CDE=90°-∠ODB，
∴∠CDE=∠CED；
（2）連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AOD=90°，
∵AB=13，
∴OB=

13

2

，
∵∠ADB=∠BOE，∠B=∠B，
∴△ABD∽△EBO，
∴

AB

EB

=

DB

BO

．
∴

13

EB

=

12

13 2

，
∴EB=

169

24

，
∴DE=BD-EB=

119

24

．

點評：本題考查了切線的性質，圓周角定理，相似三角形的判定和性質．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．