Question

問題：你能比較2011²⁰¹²和2012²⁰¹¹的大小嗎？
為了解決這個問題，我們先把它抽象成數(shù)學(xué)問題，寫出它的-般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n是正整數(shù)），然后，我們從分析n=1，n=2，n=3，…，這些簡單情形入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜想出結(jié)論．
（1）通過計算，比較下列各組中兩個數(shù)的大小（填“＜”“＞”或“=”）：
①1²

＜

2¹；②2³

＜

3²；③3⁴

＞

4³；
④4⁵

＞

5⁴；⑤5⁶

＞

6⁵；…
（2）將題（1）的結(jié)果進行歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關(guān)系是

當(dāng)n＜3時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當(dāng)n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ

；
（3）根據(jù)上面歸納猜想后得到的一般結(jié)論，試比較下列兩個數(shù)的大小：2011²⁰¹²

＞

2012²⁰¹¹．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義分別進行計算即可得解；
（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果分情況解答；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論解答即可．

解答：解：（1）①1²=1，2¹=2；
②2³=8，3²=9；
③3⁴=81，4³=64；
④4⁵=1024，5⁴=625；⑤5⁶=15625，6⁵=7776；…

（2）當(dāng)n＜3時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當(dāng)n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）∵2011＞3，
∴2011²⁰¹²＞2012²⁰¹¹．
故答案為：（1）＜；＜；＞；＞；＞；（2）當(dāng)n＜3時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當(dāng)n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；（3）＞．

點評：本題考查了有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的大小比較，理解有理數(shù)的乘方的意義準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．