Question

在平面直角坐標系xOy中，A為第一象限內的雙曲線（k₁＞0）上一點，點A
的橫坐標為1，過點A作平行于 y軸的直線，與x軸交于點B，與雙曲線（k₂＜0）交于點C．x軸上一點D（m，0）位于直線AC右側，AD的中點為E．
（1）當m=4時，求△ACD的面積（用含k₁，k₂的代數式表示）；
（2）若點E恰好在雙曲線（k₁＞0）上，求m的值；
（3）設線段EB的延長線與y軸的負半軸交于點F，當點D的坐標為D（2，0）時，若△BDF的面積為1，且CF∥AD，求k₁的值，并直接寫出線段CF的長．

Answer 1

解：（1）由題意得A，C兩點的坐標分別為A（1，k₁），C（1，k₂）．（如圖1）
∵k₁＞0，k₂＜0，
∴點A在第一象限，點C在第四象限，AC=k₁-k₂．
當m=4時，．

（2）作EG⊥x軸于點G．（如圖2）
∵EG∥AB，AD的中點為E，
∴△DEG∽△DAB，，G為BD的中點．
∵A，B，D三點的坐標分別為A（1，k₁），B（1，0），D（m，0），
∴，，．
∴點E的坐標為．
∵點E恰好在雙曲線上，
∴．①
∵k₁＞0，
∴方程①可化為，
解得m=3．

（3）當點D的坐標為D（2，0）時，由（2）可知點E的坐標為．（如圖3）
∵S_△BDF=1，
∴．
∴OF=2．
設直線BE的解析式為y=ax+b（a≠0）．
∵點B，點E的坐標分別為B（1，0），，
∴
解得 a=k₁，b=-k₁．
∴直線BE的解析式為y=k₁x-k₁．
∵線段EB的延長線與y軸的負半軸交于點F，k₁＞0，
∴點F的坐標為F（0，-k₁），OF=k₁．
∴k₁=2．
∵A點坐標為（1，2），D點坐標為（2，0），
∴設一次函數解析式為y=kx+b，
將A（1，2），D（2，0）分別代入解析式得，
，
解得，
故函數解析式為y=-2x+4，
又∵AD∥FC，
設FC的解析式為y=-2x+c，
將F（0，-2）代入解析式得，c=-2，
故函數解析式為y=-2x-2．
當x=1時，k₂=-4．
C點坐標為（1，-4），
故線段CF==．
分析：（1）由于A、C的橫坐標相同，則AC的長即為A、C的縱坐標之差，根據m=4，可求出BD的長，進而的得出三角形的面積；
（2）作EG⊥x軸于點G，判斷出△DEG∽△DAB，再根據A，B，D三點的坐標分別為A（1，k₁），B（1，0），D（m，0），以及G為BD的中點，求出E的表達式，代入反比例函數解析式，即可求出m的值；
（3）根據S_△BDF=1，求出OF=2，將點B，點E的坐標分別代入解析式，求出直線BE的解析式為y=k₁x-k₁．再求出AD的解析式，根據平行直線的性質求出FC的解析式，得到C點作標，從而求出F從的坐標．
點評：本題考查了反比例函數的相關問題，涉及圖形與坐標的關系、待定系數法求函數解析式、兩點間的距離公式等知識，綜合性很強，要認真對待．