Question

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線MN分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點M、N，且OM=6cm，∠OMN=30°，等邊△ABC的頂點B與原點O重合，BC邊落在x軸的正半軸上，點A恰好落在線段MN上，如圖2，將等邊△ABC從圖1的位置沿x軸正方向以1cm/s的速度平移，邊AB、AC分別與線段MN交于點E、F，在△ABC平移的同時，點P從△ABC的頂點B出發，以2cm/s的速度沿折線B→A→C運動，當點P達到點C時，點P停止運動，△ABC也隨之停止平移．設△ABC平移時間為t（s），△PEF的面積為S（cm²）．
（1）求等邊△ABC的邊長；
（2）當點P在線段BA上運動時，求S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）點P沿折線B→A→C運動的過程中，是否在某一時刻，使△PEF為等腰三角形？若存在，求出此時t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據，∠OMN=30°和△ABC為等邊三角形，求證△OAM為直角三角形，然后即可得出答案．
（2）根據OM=6cm，∠OMN=30°，利用勾股定理求出MN和ON的長，再根據△OMN∽△BEM，利用其對應邊成比例求出BE、PE，然后利用三角形面積公式即可求得答案．
（3）△PEF為等腰三角形，求出t的值，如果在0＜t＜3這個范圍內就存在，否則就不存在．

解答：解：（1）∵直線MN分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點M、N，OM=6cm，∠OMN=30°，
∴∠ONM=60°，
∵△ABC為等邊三角形
∴∠AOC=60°，∠NOA=30°
∴OA⊥MN，即△OAM為直角三角形，
∴OA=

1

2

OM=

1

2

×6=3．

（2）∵OM=6cm，∠OMN=30°，
∴ON=2

3

，MN=4

3

．
∵△OMN∽△BEM，
∴

MB

MN

=

BE

ON

，
∴

6-t

4 3

=

EB

2 3

，
BE=

6-t

2

，
當點P在BE上時，
PE=BE-PB=

6-t

2

-2t=

6-5t

2

，
∵∠A=60°，∠AFE=30°，
∴EF=

3

AE=

3

（3-BE）=

3

（3-

6-t

2

）=

3

2

t，
∴△PEF的面積S=

1

2

×EF×PE=

1

2

×

3

2

t×

6-5t

2

，
即S=

3 (6t-5t2)

8

=-

5 3 t 2-6 3 t

8

（0＜t＜

5

6

）；
當點P在AE上時，PE=PB-BE=2t-

6-t

2

=

5t-6

2

，
∵∠A=60°，∠AFE=30°，
∴EF=

3

AE=

3

（3-BE）=

3

（3-

6-t

2

）=

3

2

t，
∴△PEF的面積S=

1

2

×EF×PE=

1

2

×

3

2

t×

5t-6

2

，
即S=

3 (5t2-6t)

8

=

5 3 t 2-6 3 t

8

（

5

6

＜t≤3）；

（3）存在，有三種情況：
①當點P在線段AB上時，
點P在AB上運動的時間為

3

2

s，
∵△PEF為等腰三角形，∠PEF=90°，
∴PE=EF，
∵∠A=60°，∠AFE=30°，
∴EF=

3

AE=

3

（3-BE）=

3

（3-

6-t

2

）=

3

2

t，
∴

6-5t

2

=

3

2

t或

5t-6

2

=

3

2

t，
解得t=

15-3 3

11

或

15+3 3

11

＞

3

2

（故舍去），
②當點P在AF上時，
若PE=PF時，點P為EF的垂直平分線與AC的交點，
此時P為直角三角形PEF斜邊AF的中點，
∴PF=AP=2t-3，
∵點P從△ABC的頂點B出發，以2cm/s的速度沿折線B→A→C運動，
∴0＜t＜3，
在直角三角形中，cos30°=

EF 2

PF

=

3 t

8t-12

=

3

2

，
解得：t=2，
若FE=FP，
AF=

EF

cos∠AFE

=

EF

cos30°

=t，
則t-（2t-3）=

3

2

t，
解得：t=12-6

3

；
③當PE=EF，P在AE上時無解，
綜上，存在t值為

15-3 3

11

或12-6

3

或2時，△PEF為等腰三角形．

點評：此題涉及到含30度角的直角三角形、三角形的面積，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識點，綜合性強，難度較大，尤其是動點問題，給此題增加了一定的難度，因此此題屬于難題．