Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一點，BE交AC于F，連接DF．

（1）證明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；

（2）若AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形；

（3）在（2）的條件下，試確定E點的位置，∠EFD=∠BCD，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：∵在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）。

∴∠BAC=∠DAC。

∵在△ABF和△ADF中，，∴△ABF≌△ADF（SAS）。

∴∠AFD=∠AFB。

∵∠AFB=∠AFE，∴∠AFD=∠CFE。

（2）證明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD。

又∵∠BAC=∠DAC，∴∠CAD=∠ACD。∴AD=CD。

∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD。∴四邊形ABCD是菱形。

（3）當(dāng)EB⊥CD時，∠EFD=∠BCD，理由如下：

∵四邊形ABCD為菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF。

∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS）。

∴∠CBF=∠CDF。

∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°。∴∠EFD=∠BCD。

【解析】（1）由SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再證明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，進(jìn)而得到∠AFD=∠CFE。

（2）首先證明∠CAD=∠ACD，再根據(jù)等角對等邊可得AD=CD，再由條件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四邊形ABCD是菱形。

（3）首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根據(jù)BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，從而得到∠EFD=∠BCD。