Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是的內接四邊形，．

如圖，求證：；

如圖，點F是AC的中點，弦，交BC于點E，交AC于點M，求證：；

在的條件下，若DG平分，，，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

由，得到，從而得到，即可得到．

如圖2，延長AD到N，使，連接NC，構造三角形中位線和全等三角形≌，由該全等三角形的對應邊相等得到：所以，即；

如圖3，連接BG，過點A作，構造等邊三角形、通過得，，，作直徑AP，連接CP，，故，由銳角三角函數的定義求得，從而得到直徑AP的長度，易得半徑的長度．

（1）如圖1，連接AC，

，

，

；

如圖2，延長AD到N，使，連接NC，

，，

四邊形ABED是平行四邊形，

，

，

．

，

≌，

，

，，

是的中位線，

，

；

如圖3，連接BG，過點A作，

由知，

四邊形ABED是平行四邊形，

．

，

，

，

平分，

，

，

，∠NDC=∠DCE，

，

，，

∴∠DEC=∠DCE=∠EDC，

∴△CDE是等邊三角形，

∴∠DEC=∠DCE=∠EDC=60°，DE=CE，

∵∠BGE=∠BCD=60°，∠BEG=∠DEC=60°，

∴是等邊三角形，

，

解得，，，，

，

，

作直徑AP，連接CP，

，，

，

，

的半徑是．