Question

等腰△ABC的直角邊AB=BC=10cm，點P、Q分別從A、C兩點同時出發，均以1cm/秒的相同速度作直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D．設P點運動時間為t，△PCQ的面積為S．
（1）求出S關于t的函數關系式；
（2）當點P運動幾秒時，S_△PCQ=S_△ABC？
（3）作PE⊥AC于點E，當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結論．

Answer 1

分析：由題可以看出P沿AB向右運動，Q沿BC向上運動，且速度都為1cm/s，S=

1

2

QC×PB，所以求出QC、PB與t的關系式就可得出S與t的關系，另外應注意P點的運動軌跡，它不僅在B點左側運動，達到一定時間后會運動到右側，所以一些問題可能會有兩種可能出現的情況，這時我們應分條回答．

解答：解：（1）當t＜10秒時，P在線段AB上，此時CQ=t，PB=10-t
∴s=

1

2

×t×(10-t)=

1

2

(10t-t2)
當t＞10秒時，P在線段AB得延長線上，此時CQ=t，PB=t-10
∴s=

1

2

×t×(t-10)=

1

2

(t2-10t)（4分）

（2）∵S_△ABC=

1

2

AB•BC=50（5分）
∴當t＜10秒時，S_△PCQ=

1

2

(10t-t2)=50
整理得t²-10t+100=0無解（6分）
當t＞10秒時，S_△PCQ=

1

2

(t2-10t)=50
整理得t²-10t-100=0解得x=5±5

5

（舍去負值）（7分）
∴當點P運動5+5

5

秒時，S_△PCQ=S_△ABC（8分）

（3）當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變（10分）
證明：過Q作QM⊥AC，交直線AC于點M
易證△APE≌△QCM，
∴AE=PE=CM=QM=

2

2

t，
∴四邊形PEQM是平行四邊形，且DE是對角線EM的一半（11分）
又∵EM=AC=10

2

∴DE=5

2

∴當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變（12分）

點評：做此類題應首先找出未知量與已知量的對應關系，利用已知量來表示未知量，許多問題就會迎刃而解．