Question

（1）等腰△ABC的直角邊AB=BC=10cm，點P、Q分別從A、C兩點同時出發，均以1cm/秒的相同速度作直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D，過P作PE⊥AC于點E．設P點運動時間為t．
①當點P在線段AB上運動時，線段DE的長度是否改變？若不改變，求出DE的值；若改變，請說明理由．
下面給出一種解題的思路，你可以按這一思路解題，也可以選擇另外的方法解題．
解：過Q作QF⊥直線AC于點M
∵PE⊥AC于點E，QF⊥直線AC于點M
∴∠AEP=∠F=90°
（下面請你完成余下的解題過程）
②當點P在線段AB的延長線上運動時，（1）中的結論是否還成立？請在圖2畫出圖形并說明理由．
（2）若將（1）中的“腰長為10cm的等腰直角△ABC”改為“邊長為a的等邊△ABC”時（其余條件不變），則線段DE的長度又如何？（直接寫出答案，不需要解題過程）
（3）若將（2）中的“等邊△ABC”改為“△ABC”（其余條件不變），請你做出猜想：當△ABC滿足

∠A=∠ACB

條件時，（2）中的結論仍然成立．（直接寫出答案，不需要解題過程）

Answer 1

分析：（1）①求出AC的值，過Q作QF⊥AC交AC的延長線于F，根據AP=CQ=t和等腰直角三角形求出AE=PE=QF=CF，根據平行線分線段成比例定理求出DE=DF，即可求出答案；②根據AAS證△APE和△CFQ全等，推出CF=AE，推出AC=EF即可；
（2）與①證法類似求出DE=DF，AE=CF=

1

2

EF，推出EF=AC，代入求出即可；
（3）根據①的結論求出只要∠A=∠ACB時，就能推出AE=CF，即可求出答案．

解答：解：（1）①線段DE的長度不變，
由勾股定理得：AC=

AB2+BC2

=10

2

，
過Q作QF⊥AC交AC的延長線于F，
∵∠QCF=∠ACB=∠A=∠EPA=45°，AP=CQ=t，
∴AE=PE=QF=CF，
∵QF⊥AC，PE⊥AC，
∴QF∥PE，
∴

PE

QF

=

ED

DF

，
∴DE=DF=

1

2

EF=

1

2

（EC+CF）=

1

2

（EC+AE）=

1

2

AC=5

2

．
②成立，
理由是：在△AEP和△CFQ中

∠AEP=∠QFE ∠A=∠QCF AP=CQ

，
∴△AEP≌△CFQ，
∴AE=CF，
∴AC=AE+CE=CF+CE=EF，
由①知：DE=DF=

1

2

EF，
∴DE=

1

2

AC，
∴成立．

（2）與①證法類似：知DE=DF，EF=AC，
∴DE=

1

2

a．

（3）當∠A=∠ACB時，
∵∠DCF=∠ACB=∠A，
在△AEP和△CFQ中

∠A=∠QCF ∠AEP=∠CFQ AP=CQ

，
∴△AEP≌△CFQ，
∴AE=CF，
∴AE+EC=CF+EC，
即AC=EF，
由①知ED=DF，
∴DE=

1

2

AC，
∴故答案為：∠A=∠ACB．

點評：本題考查了等邊三角形性質，等腰三角形的性質，勾股定理，全等三角形的性質和判定，平行線分線段成比例定理等知識點的運用，主要考查學生運用性質進行推理，能根據證明過程得出證題規律和結果規律是解此題的關鍵，只要掌握證①的規律，此題就能迎刃而解．