Question

如圖，直線y=2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B．點P在x軸上，且OP=2OA，在此平面上，存在點M，使得四邊形ABMP恰好為平行四邊形
（1）求點P的坐標；
（2）求所有滿足條件的M點坐標．

Answer 1

分析：（1）根據一次函數解析式求得點A的坐標．對點P的位置需要分類討論：點P在點A的左邊和點P在點A的右邊；
（2）根據“平行四邊形的對邊平行且相等”的性質知，點M的縱坐標與點B的相同，都是4，且BM=AP．所以由（1）中的點P的不同坐標，來求滿足條件的相應的點M的坐標．

解答：解：（1）∵直線y=2x+4與x軸交于點A，
∴令y=0，則
2x+4=0，
解得，x=-2，即A點坐標（-2，0）．
設P點坐標為 （x，0）．
∵OP=2OA解得：x=±4．
∴P點坐標分別為P（4，0），或P′（-4，0）．

（2）假設存在點M，四邊形ABMP恰好為平行四邊形．
∵BM∥x軸，∴點M與點B縱坐標相等，即y_M=4．
當P（4，0）時，BM=AP=6，
∴M（6，4）．
當P′（-4，0）時，BM′=AP′=2，
∴M′（-2，4）．
綜上所述，當點M的坐標為（6，4）、（-2，4）時，四邊形ABMP恰好為平行四邊形．

點評：本題綜合考查了一次函數圖象上點的坐標特征，平行四邊形的性質以及坐標與圖形的性質．解題時，采用了“數形結合”的數學思想，使抽象的問題變得形象化，降低了題的難度．