Question

如圖，延長⊙O的半徑OA到B，使OA=AB，DE是圓的一條切線，E是切點，過點B作DE的垂線，垂足為點C．
求證：∠ACB=

1

3

∠OAC．

Answer 1

分析：根據DE是圓的一條切線，E是切點，得出OE⊥DC，進而得出OE∥AF∥BC，再利用等腰三角形的性質得出AE=AC，從而得出答案．

解答：證明：連接OE、AE，并過點A作AF⊥DE于點F，（3分）
∵DE是圓的一條切線，E是切點，
∴OE⊥DC，（1分）
又∵BC⊥DE，
∴OE∥AF∥BC．（1分）
∴∠1=∠ACB，∠2=∠3．（1分）
∵OA=OE，
∴∠4=∠3．（1分）
∴∠4=∠2．（1分）
又∵點A是OB的中點，
∴點F是EC的中點．（1分）
∴AE=AC．（1分）
∴∠1=∠2．（1分）
∴∠4=∠2=∠1．（1分）
即∠ACB=

1

3

∠OAC．

點評：此題主要考查了切線的性質定理以及等腰三角形的性質，根據已知得出∠4=∠2以及AE=AC是解決問題的關鍵．