Question

襄樊市是我國南方小麥種植面積較大的地市之一．2006年5月下旬，跨省收割機聯合收割小麥開機儀式在該市舉行．某機械廠在2005年11月前接受了一批生產A、B兩種型號收割機共1 00臺的訂單，要求該廠在不超過1 60天內完成這批任務．該廠生產每臺收割機的平均時間和每臺所獲利潤見下表：（注：兩種收割機不能同時生產）

型號	生產每臺收割機的平均時間	生產每臺收割機所獲利潤
A型	天	0.5萬元
B型	天	0.8萬元

（1）設該廠生產A型收割機x臺，生產A、B兩種型號收割機總利潤為y萬元，試寫出y與x之間的函數關系式；
（2）為了保證按時完成這批生產任務，該廠至少生產A型收割機多少臺？
（3）若你是廠長，你會怎樣安排生產A、B兩種型號收割機的臺數，才使所獲總利潤最大，最大利潤是多少？

Answer 1

解：（1）y=0.5x+0.8（100-x）=-0.3x+80；

（2），解得x≥16，
所以，至少生產16臺A型收割機，才能保證按時完成任務；

（3）∵y=-0.3x+80中-0.3＜0，
y隨x的減小而增大，
∴當x取最小值16時，y有最大值，y_最大=-0.3×16+80=75.2（萬元）．
所以，應該安排生產A型收割機16臺，B型收割機84臺，才使所獲總利潤最大，最大利潤是75.2方元．
分析：（1）總利潤=每臺收割機利潤×臺數；
（2）要保證按時完成，就是生產100臺收割機用的時間不大于160天；
（3）利用一次函數性質取最大值．
點評：本題為一次函數與實際生活的聯系題，正確列出利潤表達式即函數表達式很重要．另外，一次函數圖象性質也是本題考查點之一．