Question

（2006•上海模擬）如圖，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4．以點C為旋轉中心把△ABC旋轉到△A′B′C，點B在邊A′B′上，邊A′C與邊AB相交于點D．求△ABC與△A′B′C重疊部分的面積．

Answer 1

分析：由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠ABC=60°，根據旋轉的性質得BC=B′C=4，∠B′=∠ABC=60°，則可判斷△B′BC為等邊三角形，得到∠BCB′=60°，于是有∠BCD=30°，∠BDC=90°，根據含30°的直角三角形三邊的關系可得BD=

1

2

BC=2，CD=

3

BD=2

3

，然后根據三角形的面積公式即可計算出S_△BCD．

解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵△ABC繞點C旋轉到△A′B′C，且點B在邊A′B′上，
∴BC=B′C=4，∠B′=∠ABC=60°，
∴△B′BC為等邊三角形，
∴∠BCB′=60°，
∵∠A′CB′=90°，
∴∠BCD=30°，
∴∠BDC=90°，
∴BD=

1

2

BC=2，CD=

3

BD=2

3

，
∴S_△BCD=

1

2

BD•CD=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
即△ABC與△A′B′C重疊部分的面積為2

3

．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等邊三角形的判定與性質以及含30°的直角三角形三邊的關系．