Question

（2008•云南）如圖，在某海域內有三個港口A、D、C．港口C在港口A北偏東60°方向上，港口D在港口A北偏西60°方向上．一艘船以每小時25海里的速度沿北偏東30°的方向駛離A港口3小時后到達B點位置處，此時發現船艙漏水，海水以每5分鐘4噸的速度滲入船內．當船艙滲入的海水總量超過75噸時，船將沉入海中．同時在B處測得港口C在B處的南偏東75°方向上．若船上的抽水機每小時可將8噸的海水排出船外，問此船在B處至少應以怎樣的航行速度駛向最近的港口停靠，才能保證船在抵達港口前不會沉沒（要求計算結果保留根號）？并指出此時船的航行方向．

Answer 1

【答案】分析：本題是將實際問題轉化為直角三角形中的數學問題，可通過構造出與實際問題有關的直角三角形，利用題中已知角和邊，借助于三角函數來求解．
解答：解：連接AC、AD、BC、BD，延長AT，
過B作BT⊥AT于T，AC與BT交于點E．
過B作BP⊥AC于點P．
由已知得∠BAD=90°，∠BAC=30°，AB=3×25=75（海里），
在△BEP和△AET中，∠BPE=∠ATE=90°，∠AET=∠BEP，
∴∠EBP=∠EAT=30度．
∵∠BAT=60°，∴∠BAP=30°，從而BP=×75=37.5（海里）．
∵港口C在B處的南偏東75°方向上，∴∠CBP=45度．
在等腰Rt△CBP中，BC=BP=（海里），
∴BC＜AB．
∵△BAD是Rt△，∴BD＞AB．
綜上，可得港口C離B點位置最近．∴此船應轉向南偏東75°方向上直接駛向港口C．
設由B駛向港口C船的速度為每小時x海里，
則據題意應有（60÷5×4-8）＜75，
解不等式，得：x＞20（海里）．
答：此船應轉向沿南偏東75°的方向向港口C航行，且航行速度至少不低于每小時20海里，才能保證船在抵達港口前不會沉沒．
點評：根據題意準確畫出示意圖是解這類題的前提和保障．可通過作輔助線構造直角三角形，再把條件和問題轉化到直角三角形中，使問題得以解決．