Question

（2008•云南）如圖，在直角坐標系中，半圓直徑為OC，半圓圓心D的坐標為（0，2），四邊形OABC是矩形，點A的坐標為（6，0）．
（1）若過點P（2，0）且與半圓D相切于點F的切線分別與y軸和BC邊交于點H與點E，求切線PF所在直線的解析式；
（2）若過點A和點B的切線分別與半圓相切于點P₁和P₂（點P₁、P₂與點O、C不重合），請求P₁、P₂點的坐標并說明理由．（注：第（2）問可利用備用圖作答）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出切線PH所在直線的解析式，過E點作ET⊥x軸于點T，連接DP、DF，則DF⊥PE，構造出直角三角形，利用特殊角的三角函數值求出E點的坐標，根據直線過P、E兩點，列出方程組求出未知數的值，進而求出切線的解析式；
（2）分當k＜0，設過點A且與半圓相切于P₁點的切線方程為y=k₁x+b₁，P₁點的坐標為（x₁，y₁），切線與邊BC交于點S，過點S作ST₁⊥x軸于點T₁．利用三角形相似求出P₁點的坐標．
k＞0時，據圓的對稱性知P₂點是P₁點關于直線y=2對稱的點，從而可得P₂點的坐標．
解答：解：（1）設切線PH所在直線的解析式為y=kx+b．（1分）
解法一：設E點的坐標為（x_E，4），過E點作ET⊥x軸于點T，連接DP、DF，則DF⊥PE，
在Rt△DOP和Rt△DFP中，∵OP=PF，OD=DF，∴△DOP≌△DFP．
在Rt△DOP中，tan∠DPO==．
∴∠DPO=30°，從而知∠OPEe=60度．
在Rt△EPT中，可求得PT=，
∴E點的坐標為（，4）．（4分）
∵直線過P、E兩點，∴解方程組，得
∴切線PF所在直線的解析式為y=-x+6．（6分）
解法二：∵點P的坐標為（2，0），且直線y=kx+b過點P，
∴2k+b=0，b=-2k．
設E點的坐標為（x_E，4），過E點作ET⊥x軸于點T．
∵切線過E點，
∴kx_E+b=4，xE=（4-b）．
∵EC=EF，PF=PO，
∴PE=EF+FP．（4分）
在Rt△ETP中，PE²=ET²+PT²，
∴[（4-b）+2]²=4²+[2-（4-b）]²，解方程，得k=-，b=6．
∴切線PF所在直線的解析式為y=-x+6．（6分）

（2）如備用圖，

（ⅰ）當k＜0時，設過點A且與半圓相切于P₁點的切線方程為y=k₁x+b₁，P₁點的坐標為（x₁，y₁），切線與邊BC交于點S，過點S作ST₁⊥x軸于點T₁．
同上理，可得b₁=-6k₁，∴[（4-b₁）+6]²=4²+[6-（4-b₁）]²，
解方程，得k₁=-，b₁=．（8分）
∵直線y=k₁x+b₁與邊BC交于點S（x₂，4），
∴4=-x₂+，解方程，得x₂=．
∵=，
∴（+6）y₁=6×4，解得y₁=，代入y=-x+，解得x₁=．
∴所求滿足條件的P₁點的坐標為（，）．（10分）
（ⅱ）當k＞0時，據圓的對稱性知P₂點是P₁點關于直線y=2對稱的點，從而可得P₂點的坐標為（，）．（12分）
點評：此題難度很大，把一次函數，圓，三角形的知識結合起來，綜合性很強，解答此題的關鍵是根據題意畫出圖形，利用數形結合求出結論．