Question

如圖①，四邊形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等邊三角形，連接AP、PQ．
（1）請你判斷AP與PQ的數量關系并證明：
（2）如圖②，若將“四邊形ABCD是矩形”的條件改為“四邊形ABCD是平行四邊形”，則（1）中的結論是否成立，若不成立，請說明理由，若成立，請給出證明．

Answer 1

【答案】分析：要證PA=PQ，證△PAB≌△PQC即可得到，由△PBC和△QCD都是等邊三角形，
則PB=PC，CQ=AB．由∴∠PBA=∠DCP=∠BCQ=90°-60°=30°．
∴∠PCQ=90°-∠DCP-∠BCQ=30°．
解答：證明：①AP等于PQ．
∵△PBC和△QCD都是等邊三角形，四邊形ABCD是矩形，
∴PB=PC，CQ=CD=AB．
∴∠PBC=∠PCB=60°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠PBA=∠DCP=∠BCQ=90°-60°=30°．
∴∠PCQ=90°-∠DCP-∠BCQ=30°．
即∠PBA=∠PCQ．
又∵PB=PC，CQ=AB．
∴△PAB≌△PQC．
∴AP=PQ．
②當四邊形ABCD是平行四邊形時AP=PQ．
∵△PBC和△QCD都是等邊三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，∠QCD=60°．
∴CQ=CD=AB，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠PCQ=180°-∠PCB-∠QCD-∠ABC=60°-∠ABC．
又∵∠PBA=∠PBC-∠ABC=60°-∠ABC，
∴∠PBA=∠PCQ，
∴△PAB≌△PQC．
∴AP=PQ．
點評：此題考查了全等三角形的判定和性質，以及四邊形的性質，同學們應該熟練掌握．