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如圖①,四邊形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等邊三角形,連接AP、PQ.
(1)請你判斷AP與PQ的數量關系并證明:
(2)如圖②,若將“四邊形ABCD是矩形”的條件改為“四邊形ABCD是平行四邊形”,則(1)中的結論是否成立,若不成立,請說明理由,若成立,請給出證明.

【答案】分析:要證PA=PQ,證△PAB≌△PQC即可得到,由△PBC和△QCD都是等邊三角形,
則PB=PC,CQ=AB.由∴∠PBA=∠DCP=∠BCQ=90°-60°=30°.
∴∠PCQ=90°-∠DCP-∠BCQ=30°.
解答:證明:①AP等于PQ.
∵△PBC和△QCD都是等邊三角形,四邊形ABCD是矩形,
∴PB=PC,CQ=CD=AB.
∴∠PBC=∠PCB=60°,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠PBA=∠DCP=∠BCQ=90°-60°=30°.
∴∠PCQ=90°-∠DCP-∠BCQ=30°.
即∠PBA=∠PCQ.
又∵PB=PC,CQ=AB.
∴△PAB≌△PQC.
∴AP=PQ.
②當四邊形ABCD是平行四邊形時AP=PQ.
∵△PBC和△QCD都是等邊三角形,
∴∠PBC=∠PCB=60°,∠QCD=60°.
∴CQ=CD=AB,
又∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠PCQ=180°-∠PCB-∠QCD-∠ABC=60°-∠ABC.
又∵∠PBA=∠PBC-∠ABC=60°-∠ABC,
∴∠PBA=∠PCQ,
∴△PAB≌△PQC.
∴AP=PQ.
點評:此題考查了全等三角形的判定和性質,以及四邊形的性質,同學們應該熟練掌握.
練習冊系列答案
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