Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，過點B作BD⊥AC于D，BE平分∠DBC，交AC于E，過點A作AF⊥BE于G，交BC于F，交BD于H．
（1）若∠BAC=45°，求證：①AF平分∠BAC；②FC=2HD．
（2）若∠BAC=30°，請直接寫出FC與HD的等量關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）①首先證明∠HBG=∠HAD，再證明∠GBF=∠BAF，再根據(jù)∠GBF=∠HBG可得∠HAD=∠BAF，進而得到結(jié)論；
②過點D作KD∥FC交AF于K，然后可以證出==進而得到FC=2KD，再證明∠DKH=∠DHK得到KD=HD，進而得到FC=2HD；
（2）與（1）中的②證明方法類似，首先證明=，再根據(jù)MD∥FC可得==，然后再證明MD=HD，進而得到結(jié)論．
解答：解：（1）①∵BD⊥AC，AF⊥BE，
∴∠ADH=∠HGB=90°．
∵∠BHG=∠AHD，
∴∠HBG=∠HAD．
∵∠ABC=∠FGB=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∠GBF+∠AFB=90°．
∴∠GBF=∠BAF．
∵BE平分∠DBC，
∴∠GBF=∠HBG．
∴∠HAD=∠BAF．
即 AF平分∠BAC．

②∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴∠C=∠BAC=45°，
∴AB=BC．
∵BD⊥AC，
∴AD=DC=AC．
過點D作KD∥FC交AF于K，
∴==．
∴FC=2KD，
∵BE平分∠DBC，BE⊥AF，
∴∠DBE=∠EBF，∠HGB=∠FGB=90°．
∴∠BFH=∠BHF．
∴∠BHF=∠DHK．
∴∠BFH=∠DHK．
∵KD∥BC，
∴∠DKH=∠BFH．
∴∠DKH=∠DHK．
∴KD=HD．
∴FC=2HD．

（2）過點D作MD∥FC交AF于M，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴=，=，
∴=，
∵MD∥FC，
∴==，
∵BE平分∠DBC，BE⊥AF，
∴∠DBE=∠EBF，∠HGB=∠FGB=90°．
∴∠BFH=∠BHF．
∵∠BHF=∠DHM．
∴∠BFH=∠DHM．
∵MD∥BC，
∴∠DMH=∠BFH．
∴∠DMH=∠DHM．
∴MD=HD．
∴=．
∴FC=HD．
點評：此題主要考查了平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是證明KD=HD和MD=HD．此題綜合性較強，找準角之間的相等關(guān)系是解決此題的難點．