Question

（2004•佛山）如果正方形的一邊落在三角形的一邊上，其余兩個頂點分別在三角形的另外兩條邊上，則這樣的正方形叫做三角形的內接正方形．
（1）如圖①，在△ABC中，BC=a，BC邊上的高AD=h_a，EFGH是△ABC的內接正方形．設正方形EFGH的邊長是x，求證：；
（2）在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90度．請在圖②，圖③中分別畫出可能的內接正方形，并根據計算回答哪個內接正方形的面積最大；
（3）在銳角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c．請問這個三角形的內接正方形中哪個面積最大？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由HG∥BC，可得△AHG∽△ABC，再根據相似三角形對應高的比等于相似比，求出結果；
（2）問哪個內接正方形的面積最大，即看哪個內接正方形的邊最長，由（1）可知結果；
（3）正方形的一邊落在三角形的最短一邊BC上的內接正方形的面積最大．
解答：解：（1）∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴AM：AD=HG：BC，
∴（h_a-x）：h_a=x：a，
a（h_a-x）=h_ax，
ah_a-ax=h_ax，
（a+h_a）x=ah_a，
∴；

（2）根據（1）的結果，當圖②的情況，BC==5，則AD=，
此時正方形的邊長是：=；
當圖③時，正方形的邊長是=，
故③的情況面積大．


（3）根據（1）的結果，設三角形的面積是S，則S=ah_a，則x=，
則當正方形的一邊落在三角形的最短一邊BC上時，a+h_a最小，則x最大，內接正方形的面積最大．
點評：本題探討合理利用三角形的邊角余料，提高材料的利用率．