Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點E在邊CD上，且CD＝3DE，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF，下列結論：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG//CF；④S△EFC＝．其中正確結論的是____________（只填序號）.

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

根據正方形的性質得到AB=AD=DC=6,∠B=∠D=90°，求出DE=2，AF=AB，根據HL推出Rt△ABG≌Rt△AFG,推出BG=FG,∠AGB=∠AGF,設BG=x，則CG=BC-BG=6-x,GE=GF+EF=BG+DE=x+2,在Rt△ECG中，由勾股定理得出(6-x)2+42=（x+2）2，求出x=3，得出BG=GF=CG,求出∠AGB=∠FCG，推出AG∥CF，根據,再求出=6，求出S△EFC即可.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD=DC=6，∠B=∠D=90°

∵CD=3DE，

∴DE=2，

∵將△ADE沿AE對折至△AFE，

∴DE=EF=2，AD=AF,∠D=∠AFE=∠AFG=90°，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG,∴①正確；

∴BG=FG, ∠AGB=∠AGF,

設BG=x，則CG=BC-BG=6-x,GE=GF+EF=BG+DE=x+2,

在Rt△ECG中，由勾股定理得出CG2+CE2=EG2，

即(6-x)2+42=（x+2）2，

求出x=3，

∴BG=GF=CG,②正確；

∵CG=GF,∴∠CFG=∠FCG

∵∠BGF=∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF，

∵∠AGB=∠AGF,

∴∠AGB=∠FCG，∴AG∥CF，③正確；

∵

∴S△EFC=，④正確，

故答案為①②③④