Question

如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，直徑AD⊥BC于E，點(diǎn)F是OE的中點(diǎn)，且BD∥CF．
（1）若BD=3，求BC的長(zhǎng)．
（2）若BD平分∠CBP，求證：AB•BD=BP•AF．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直徑AD⊥BC，根據(jù)垂徑定理得到E為BC中點(diǎn)，又BD與CF平行，得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，從而利用“AAS”得到三角形BDE與三角形CFE全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到DE=EF，設(shè)ED=EF=x，由已知F為OE中點(diǎn)，得到OE=2EF=2x，OD=OA=3x，則AD=6x，再由直徑AB所對(duì)的圓周角為直角得到∠ABD=90°，又根據(jù)垂直定義得到∠AEB=90°，故兩個(gè)角相等，再根據(jù)∠BED為公共角，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△ABD∽△BED，由相似得比例列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即可求出BD和DE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)；
（2）連接BF，根據(jù)AB為圓的直徑，得到其所對(duì)的圓周角為直角，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠BAD+∠ADB=90°又根據(jù)AD與BC垂直根據(jù)垂直定義得到一個(gè)直角，同理可得∠DBE+∠ADB=90°，根據(jù)同角的余角相等得到∠BAD=∠DBE，根據(jù)角平分線定義得到∠PBD=∠DBE，利用等量代換得到∠BAD=∠PBD，由（1）可知BE垂直平分FD，故BF=BD，根據(jù)“等邊對(duì)等角”得到∠BFD=∠BDF，再根據(jù)等角的鄰補(bǔ)角相等得到一對(duì)角相等，由兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似，得到△ABF∽△BPD，由相似得比例變形后得證．
解答：解：（1）∵直徑AD⊥BC于E，
由垂徑定理得：BE=CE，
又∵BD∥CF，
∴∠ECF=∠EBD，∠EFC=∠EDB，
∴△BED≌△CEF，
∴DE=EF，
設(shè)DE=EF=x，
又∵點(diǎn)F是OE的中點(diǎn)，
∴OE=2EF=2x，OD=OA=3x，AD=6x，
∵AD是⊙O直徑，
∴∠ABD=90°，
又AD⊥BC，∴∠AEB=90°，
∴∠ABD=∠AEB，又∠BDE=∠BDE，
∴△ABD∽△BED，
∴=，即=，
解得：x=，
在直角三角形BDE中，
根據(jù)勾股定理得：BE===，
則BC=2BE=2；

（2）連接BF，AB，
∵AD是⊙O直徑，
∴∠ABD=90°，
∴∠BAD+∠ADB=90°
又AD⊥BC，∴∠AEB=90°，
∴∠DBE+∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠DBE，
又∵BD平分∠CBP，
∴∠PBD=∠DBE，
∴∠BAD=∠PBD，
由（1）可知：DE=EF，且AD⊥BC，
∴BE是DF的垂直平分線，
∴BF=BD，
∴∠BFD=∠BDF，
∴∠AFB=∠BDP，
∴△ABF∽△BPD，
∴=，即AB•BD=BP•AF．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，以及勾股定理．相似三角形的判定，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行測(cè)量、證明線段成比例及證明兩角相等是中考的熱點(diǎn)試題，在證明成比例線段時(shí)，常證明線段所在的兩個(gè)三角形相似，證明相似的方法有：兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似；三邊成比例的兩三角形相似，學(xué)生應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況靈活選擇方法．