Question

【題目】如圖，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．
（1）求證：△ABC是等腰三角形．
（2）當∠CAE等于多少度時△ABC是等邊三角形？證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD平分∠CAE，

∴∠EAD=∠CAD，

∵AD∥BC，

∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC．

故△ABC是等腰三角形

（2）解：當∠CAE=120°時△ABC是等邊三角形．

∵∠CAE=120°，AD平分∠CAE，

∴∠EAD=∠CAD=60°，

∵AD∥BC，

∴∠EAD=∠B=60°，∠CAD=∠C=60°，

∴∠B=∠C=60°，

∴△ABC是等邊三角形

【解析】（1）根據角平分線的定義可得∠EAD=∠CAD，再根據平行線的性質可得∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，然后求出∠B=∠C，再根據等角對等邊即可得證．（2）根據角平分線的定義可得∠EAD=∠CAD=60°，再根據平行線的性質可得∠EAD=∠B=60°，∠CAD=∠C=60°，然后求出∠B=∠C=60°，即可證得△ABC是等邊三角形．
【考點精析】掌握等腰三角形的判定和等邊三角形的判定是解答本題的根本，需要知道如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．