Question

已知：|2y-a|=axy-x2- 

1

4

a2y2
（1）求證：不論a為何值時，總有y²=x；
（2）當a為何值時，|x|=|y|成立？

Answer 1

分析：（1）利用完全平方公式和絕對值的非負性求解即可；
（2）由（1）可知x=

1

4

a²，y=

1

2

a，若|x|=|y|則可建立關于a的方程解方程即可．

解答：解：（1）∵|2y-a|=axy-x2- 

1

4

a2y2，
∴|2y-a|+（x-

1

2

ay）²=0，
∴

x= 1 4 a 2 y= 1 2 a

，
將a消去，即有y²=x；

（2）若|x|=|y|成立，則有

.

1 4 a2

.

=

.

1 2 a

.

，
∴

.

a 2

.

=

.

2a

.

，
當a≥0時，即a²-2a=0，即a=0或a=2；
當a＜0時，即a²+2a=0，a=0或a=-2；
∴當a=0或a=2或a=-2時，均有|x|=|y|

點評：（1）本題考查了絕對值的非負性，任意一個數的絕對值都是非負數，當幾個數或式的絕對值相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0，根據上述的性質可列出方程求出未知數的值；
（2）本題考查了絕對值的性質以及利用因式分解求出方程的解，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．