Question

這是一個很著名的故事：阿基米德與國王下棋，國王輸了，國王問阿基米德要什么獎賞？阿基米德對國王說：“我只要在棋盤上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按這個方法放滿整個棋盤就行．”國王以為要不了多少糧食，就隨口答應了，結果國王輸了．
（1）我們知道，國際象棋共有64個格子，則在第64格中應放多少米？（用冪表示）
（2）請探究第（1）中的數的末位數字是多少？（簡要寫出探究過程）
（3）求國王輸給阿基米德的米粒數．

Answer 1

分析：（1）觀察發現，第n個格子里的米粒數是2為底數，n-1作為指數；
（2）通過計算可以看出，個位數是以4項為一組循環的，用63除以4，余數是幾就與第幾項的個位數相同．
（3）利用信息，這列數都乘以2，再相減即可求出．

解答：解：（1）第64個格子，應該底數是2，指數63，所以為2⁶³；

（2）∵2⁰=1，2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…
∴2⁶³的末位數字與2³的末位數字相同，是8．

（3）設x=1+2+2²+…+2⁶³ ①．等式兩邊同時乘以2，得2x=2+2²+2³+…+2⁶⁴ ②，②-①，得x=2⁶⁴-1．答：國王輸給阿基米德的米粒數為2⁶⁴-1．

點評：本題考查了規律型：數字的變化．解答本題的關鍵是從題意中找出規律：每一格均是前一格的雙倍，即a_n=2^n-1．