Question

這是一個很著名的故事：阿基米德與國王下棋，國王輸了，國王問阿基米德要什么獎賞？阿基米德對國王說：“我只要在棋盤上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放十六粒…按這個方法放滿整個棋盤就行．”國王以為要不了多少糧食，就隨口答應了，結果國王輸了．
（1）我們知道，國際象棋共有64個格子，則在第64格中應放多少米？（用冪表示）
（2）請探究第（1）中的數的末位數字是多少？（簡要寫出探究過程）
（3）求國王輸給阿基米德的米粒數．

Answer 1

解：（1）第64個格子，應該底數是2，指數63，所以為263；
（2）∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…
∴2⁶³的末位數字與23的末位數字相同，是8．
（3）設x=1+2+2²+…+2⁶³ ①．
等式兩邊同時乘以2，得2x=2+2²+2³+…+2⁶⁴ ②
②﹣①，得x=2⁶⁴﹣1．
答：國王輸給阿基米德的米粒數為2⁶⁴﹣1．