Question

（2012•三明）已知直線y=2x-5與x軸和y軸分別交于點A和點B，拋物線y=-x²+bx+c的頂點M在直線AB上，且拋物線與直線AB的另一個交點為N．
（1）如圖，當點M與點A重合時，求：
①拋物線的解析式；
②點N的坐標和線段MN的長；
（2）拋物線y=-x²+bx+c在直線AB上平移，是否存在點M，使得△OMN與△AOB相似？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①首先求得直線與x軸，y軸的交點坐標，利用二次函數的對稱軸的公式即可求解；
②N在直線上同時在二次函數上，因而設N的橫坐標是a，則在兩個函數上對應的點的縱坐標相同，據此即可求得a的值，即N的坐標，過N作NC⊥x軸，垂足為C，利用勾股定理即可求得MN的長；
（2）△AOB的三邊長可以求得OB=2OA，AB邊上的高可以求得是

5

，拋物線y=-x²+bx+c在直線AB上平移，則MN的長度不變，根據（1）的結果是2

5

，MN是AB邊上的高的二倍，當OM⊥AB或ON⊥AB時，兩個三角形相似，據此即可求得M的坐標．

解答：解：（1）①∵直線y=2x-5與x軸和y軸交于點A和點B，
∴A(

5

2

，0)，B（0，-5）．                             
解法一：當頂點M與點A重合時，∴M(

5

2

，0)．
∴拋物線的解析式是：y=-(x-

5

2

)2．即y=-x2+5x-

25

4

．   
解法二：當頂點M與點A重合時，∴M(

5

2

，0)．
∵-

b

2×(-1)

=

5

2

，∴b=5．
又∵

4×(-1)c-b2

4×(-1)

=0，∴c=-

25

4

．
∴拋物線的解析式是：y=-x2+5x-

25

4

．                 
②∵N在直線y=2x-5上，設N（a，2a-5），又N在拋物線y=-x2+5x-

25

4

上，
∴2a-5=-a2+5a-

25

4

．                 
解得  a1=

1

2

，a2=

5

2

（舍去）
∴N(

1

2

，-4)．                             
過N作NC⊥x軸，垂足為C．
∵N(

1

2

，-4)，∴C(

1

2

，0)．
∴NC=4． MC=OM-OC=

5

2

-

1

2

=2．   
∴MN=

NC2+MC2

=

42+22

=2

5

；

   
（2）∵A(

5

2

，0)，B（0，-5）．                             
∴OA=

5

2

，OB=5，直線AB的解析式是：y=2x-5，
則OB=2OA，AB=

OA2+OB2

=

5 5

2

，
當OM⊥AB時，直線OM的解析式是：y=-

1

2

x，
解方程組：

y=2x-5 y=- 1 2 x

，
解得：

x=2 y=-1

，
則M的坐標是（2，-1）；
當ON⊥AB時，N的坐標是（2，-1），設M的坐標是（m，2m-5）則m＞2，
∵ON=

5

，
∴OM²=ON²+MN²，
即m²+（2m-5）²=5+（2

5

）²，
解得：m=4，
則M的坐標是M（4，3）．
故M的坐標是：（2，-1）或（4，3）．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式，注意到MN是AB邊上的高的二倍，當OM⊥AB或ON⊥AB時，兩個三角形相似是解題的關鍵．