Question

（2012•三明）如圖，在△ABC中，點O在AB上，以O為圓心的圓經過A，C兩點，交AB于點D，已知∠A=α，∠B=β，
且2α+β=90°．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若OA=6，sinβ=

3

5

，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，則可得出∠A=∠ACO，從而利用外角的知識可得∠BOC=2α，再由2α+β=90°可判斷出∠OCB=90°，繼而可判斷出BC是⊙O的切線．
（2）由（1）可得OC=OA=6，OC⊥BC，利用sinβ=

3

5

=

OC

OB

可求出OB的長度，在RT△OBC中利用勾股定理可得出BC的長度．

解答：（1）證明：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=α，
∵∠BOC=∠A+∠ACO=2α，
∴∠BOC+∠B=2α+β=90°，
∴∠BCO=90°，即OC⊥BC，
∵C在⊙O上，
∴BC是⊙O的切線．

（2）解：由（1）可得，OC=OA=6，OC⊥BC，
在Rt△BOC中，sinβ=

OC

OB

，
∵sinβ=

3

5

，
∴

3

5

=

6

OB

，
∴OB=10，
∴BC=

OB2-OC2

=

102-62

=8．

點評：此題屬于圓的綜合題目，本題的第一問解法不止一種，同學們可以發散思維，多思考幾種證明方法，在第二問的解答中，關鍵是利用sinβ的值求出OB的長度，有一定難度．