Question

已知a₁，a₂，…，a₂₀₁₃是一列互不相等的正整數．若任意改變這2013個數的順序，并記為b₁，b₂，…，b₂₀₁₃，則數N=（a₁-b₁）（a₂-b₂）…（a₂₀₁₃-b₂₀₁₃）的值必為（　　）

• A、偶數
• B、奇數
• C、0
• D、1

Answer 1

分析：采用反證法加以證明：若N=（a₁-b₁）（a₂-b₂）…（a₂₀₁₃-b₂₀₁₃）為奇數，則a_i-b_i（i=1，2，…，2013）都是奇數，從而得到a₁、a₂、…、a₂₀₁₃中的奇數、偶數的個數與b₁、b₂、…、b₂₀₁₃中的奇數、偶數的個數互相交換，由此列式得到與2013為奇數矛盾，從而得出數N不是奇數，可得本題答案．

解答：解：根據“當且僅當各個因式都為奇數，積為奇數”，可得
當且僅當a_i-b_i（i=1，2，…，2013）都是奇數時，N=（a₁-b₁）（a₂-b₂）…（a₂₀₁₃-b₂₀₁₃）為奇數．
假設N=（a₁-b₁）（a₂-b₂）…（a₂₀₁₃-b₂₀₁₃）為奇數，
則滿足a_i-b_i（i=1，2，…，2013）是奇數，可得a_i是奇數則b_i為偶數，或a_i是偶數則b_i為奇數．
設a₁、a₂、…、a₂₀₁₃中有x個奇數（x≤2013且x∈N），則有（2013-x）個偶數．
根據前面推出的奇偶數規律，可得b₁、b₂、…、b₂₀₁₃中必定有x個偶數和（2013-x）個奇數，
∵b₁、b₂、…、b₂₀₁₃是由a₁、a₂、…、a₂₀₁₃重新排序而得，
∴b₁、b₂、…、b₂₀₁₃中奇數個數等于a₁、a₂、…、a₂₀₁₃中偶數的個數，
即2013-x=x，得x=

2013

2

∉N，與題設矛盾
∴假設不成立，可得N=（a₁-b₁）（a₂-b₂）…（a₂₀₁₃-b₂₀₁₃）一定是偶數．
故選：A．

點評：考查了奇數與偶數，反證法．本題給出2013個數的積，判斷它是奇數還是偶數．考查了歸納推理的一般方法及其應用的知識，屬于中檔題．