Question

【題目】已知四邊形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E為BC邊上一動點且不與B、C重合，連接AE；

（1）如圖1，過點E作EN⊥AE交CD于點N

①若BE＝1，求CN的長；②將△ECN沿EN翻折，點C恰好落在邊AD上，求BE的長；

（2）如圖2，連接BD，設BE＝m，試用含m的代數式表示S四邊形CDFE：S△ADF值．

Answer 1

【答案】（1）①CN＝；②BE＝2或BE＝；（2）S四邊形CDFE：S△ADF=1+﹣．

【解析】

（1）①求出CE=BC-BE=3，證明△ABE∽△ECF，得出＝，即可得出結果；

②過點E作EF⊥AD于F，則四邊形ABEF是矩形，得出AB=EF=2，AF=BE，由折疊的性質得出CE=C′E，CN=C′N，∠EC′N=∠C=90°，證明△EC′F∽△NC′D，得出＝＝，則＝＝，由＝，得出＝，則＝＝，得出C′D=BE，設BE=x，則C′D=AF=x，C′F=4-2x，CE=4-x，則＝，＝，，求出DN=x（2-x），CN=，由CN+DN=CD=2，即可得出結果；

（2）易證△ADF∽△EBF，得出＝＝，則=（）2=，推出S△ADF=s△BEF，由同高底邊比例得出S△ABF==S△BEF，由矩形的性質得出S四邊形CDFE=S△ADF+S△ABF-S△BEF=（+﹣1）S△BEF，即可得出S四邊形CDFE：S△ADF值．

解：（1）①∵BE＝1，

∴CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝90°，

∴∠BAE+∠BEA＝90°，

∵EF⊥AE，

∴∠AEF＝90°，

∴∠BEA+∠FEC＝90°，

∴∠BAE＝∠FEC，

∴△ABE∽△ECF，

∴＝，

即：＝，

解得：CN＝；

②過點E作EF⊥AD于F，如圖1所示：

則四邊形ABEF是矩形，

∴AB＝EF＝2，AF＝BE，

由折疊的性質得：CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，

∴∠NC′D+∠EC′F＝90°，

∵∠C′ND+∠NC′D＝90°，

∴∠EC′F＝∠C′ND，

∵∠D＝∠EFC′，

∴△EC′F∽△NC′D，

∴＝＝，

∴＝＝，

∵＝，

∴＝，

∴＝＝，

∴C′D＝BE，

設BE＝x，則C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，

∴＝，＝，

∴DN＝x（2﹣x），CN＝，

∴CN+DN＝x（2﹣x）+＝CD＝2，

解得：x＝2或x＝，

∴BE＝2或BE＝；

（2）∵四邊形ABCD為矩形，

∴BC＝AD，AD∥BC，

∴△ADF∽△EBF，

∴＝＝，

∴＝（）2＝，

∴S△ADF＝s△BEF，

S△ABF＝＝＝S△BEF，

S四邊形CDFE＝S△ADF+S△ABF﹣S△BEF＝S△BEF+S△BEF﹣S△BEF＝（+﹣1）S△BEF，

∴S四邊形CDFE：S△ADF＝（+﹣1）S△BEF： s△BEF＝1+﹣．