Question

如圖，直線AB的解析式為y=，分別與x軸、y軸相交于B、A兩點．點C在射線BA上以3cm/秒的速度運動，以C點為圓心作半徑為1cm的⊙C．點P以2cm/秒的速度在線段OA上來回運動，過點P作直線l垂直與y軸．若點C與點P同時從點B、點O開始運動，設運動時間為t秒，則在整個運動過程中直線l與⊙C共有________次相切；直線l與⊙C最后一次相切時t=________．

Answer 1

3    
分析：首先過點C作CD⊥x軸于點D，由直線AB的解析式為y=，分別與x軸、y軸相交于B、A兩點．即可求得點A與B的坐標，則可求得∠ABO的度數，得到BC=2CD；然后分別從直線l與⊙C第一次相切，第二次相切，第三次相切，去分析求解，即可求得答案．
解答：解：過點C作CD⊥x軸于點D，
∵直線AB的解析式為y=，分別與x軸、y軸相交于B、A兩點，
∴當x=0時，y=6，當y=0時，x=6，
∴點A的坐標為：（0，6），點B的坐標為：（6，0），
∴OA=6，OB=6，
∴在Rt△AOB中，tan∠ABO==，
∴∠ABO=30°，
∴在Rt△BCD中，BC=2CD，
如圖1，直線直線l與⊙C第一次相切，
由題意得：OP=2t，BC=3t，
∴CD=2t-1，
∴3t=2（2t-1），
解得：t=2；
如圖2，直線直線l與⊙C第二次相切，
由題意得：OP=6-（2t-6）=12-2t，BC=3t，
∴CD=12-2t-1，
∴3t=2（12-2t-1），
解得：t=；
如圖3，直線直線l與⊙C第三次相切，
由題意得：OP=6-（2t-6）=12-2t，BC=3t，
∴CD=12-2t+1，
∴3t=2（12-2t+1），
解得：t=．
∴在整個運動過程中直線l與⊙C共有3次相切；直線l與⊙C最后一次相切時t=．
故答案為：3，．
點評：此題考查了一次函數與坐標軸的交點問題、切線的性質以及特殊角的三角函數值等知識．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用，注意掌握輔助線的作法是解此題的關鍵．