Question

已知關于x的一元二次方程ax²+x+2=0
（1）求證：當a＜0時，方程ax²+x+2=0一定有兩個不等的實數根；
（2）若代數式-x²+x+2的值為正整數，且x為整數時，求x的值；
（3）當a=a₁時，拋物線y=ax²+x+2與x軸的正半軸相交于點M（m，0）；當a=a₂時，拋物線y=ax²+x+2與x軸的正半軸相交于點N（n，0）；若點M在點N的左邊，試比較a₁與a₂的大小．

Answer 1

分析：（1）求出b²-4ac的值，根據正負即可判斷；
（2）求出原式=-（x²-x-2）的范圍確定其整數，得出1，2，算出-x²+x+2=1和-x²+x+2=2的解即可；
（3）把a=a₁，a=a₁代入求出其值，求出a₁-a₂的值即可．

解答：解：（1）△=1-8a
∵a＜0，
∴-8a＞0即：△＞0
∴方程ax²+x+2=0一定有兩個不等的實數根．

（2）：原式=-（x²-x-2），
=-(x-

1

2

)2+

9

4

∵不論x為何值，-（x-

1

2

）²≤0，
∴原式=-（x-

1

2

）²+

9

4

≤

9

4

，
∵代數式-x²+x+2的值為正整數，
∴代數式-x²+x+2的值為1，2，
當-x²+x+2=1時，這時x的值不是整數，不符合題意，舍去；
當-x²+x+2=2時，x=0或1，
答：x的值是0或1．

（3）解：∵當a=a₁時，拋物線y=ax²+x+2與x軸的正半軸相交于點M（m，0），
∴0=a₁m²+m+2①，
∵當a=a₂時，拋物線y=ax²+x+2與x軸的正半軸相交于點N（n，0），
∴0=a₂n²+n+2②，
∴a1=

-m-2

m2

，a2=

-n-2

n2

，
∴a1-a2=

-m-2

m2

-

-n-2

n2

=

-(m+2)n2+(n+2)m2

m2n2

=

-mn2-2n2+nm2+2m2

m2n2

=

mn(m-n)+2(m+n)(m-n)

m2n2

=

(mn+2m+2n)(m-n)

m2n2

，

∵點M在點N的左邊，且M、N均在x軸正半軸，
∴m＞0，n＞0，m＜n，
∴mn+2m+2n＞0，m-n＜0，m²n²＞0，
∴a₁-a₂=

(mn+2m+2n)(m-n)

m2n2

＜0，
∴a₁＜a₂．

點評：本題主要考查對拋物線與X軸的交點，解一元二次方程，根的判別式等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．