Question

如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE=BD，連接AE、DE、DC．
（1）求證：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE=30°，求∠BCD的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠ABC為直角，得到∠CBD也為直角，得到一對角相等，再由AB=CB，BE=BD，利用SAS即可得到三角形ABE與三角形CBD全等，得證；
（2）由AB=BC，且∠ABC為直角，得到三角形ABC為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得到∠BAC為45°，由∠CAB-∠CAE求出∠BAE的度數，根據全等三角形的對應角相等得到∠BAE=∠BCD，即可求出∠BCD的度數．
解答：（1）證明：∵∠ABC=90°，D為AB延長線上一點，
∴∠ABE=∠CBD=90°，…（1分）
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；…（2分）

（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，…（3分）
又∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=15°．…（4分）
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD=∠BAE=15°．…（5分）
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，以及等腰直角三角形的判定與性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．