Question

已知開口向上的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（x₁，0）和B（x₂，0）兩點，x_l和x₂是方程x²+2x-3=0的兩個根（x₁＜x₂），而且拋物線與y軸交于C點，∠ACB不小于90°
（1）求點A、點B的坐標和拋物線的對稱軸；
（2）求點C的坐標（用含a的代數式表示）；
（3）求系數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過解方程即可求出A，B兩點的坐標，根據兩點的坐標即可得出拋物線的對稱軸．
（2）將A、B兩點的坐標代入拋物線的解析式中，即可消去b得出C點的坐標．
（3）由于∠ACB不小于90°，可先在∠ACB=90°時，用射影定理求出a的值，然后根據拋物線的二次項系數|a|的值越大開口越小，來得出a的取值范圍．

解答：解：（1）解方程x²+2x-3=0，得x=-3，x=1
∴A（-3，0），B（1，0）；
∴對稱軸為x=-1

（2）把x=0代入拋物線，得y=c．
∴點C的坐標為（0，c）
∵A、B在拋物線上
∴

9a-3b+c=0 a+b+c=0

消去b，得c=-3a
∴C（0，-3a）

（3）∵拋物線開口向上
∴a＞0
∴OC=|-3a|=3a
又∵∠ACB不小于90°
∴∠ACB≥90°
若∠ACB=90°，△BOC∽△COA
∴OC²=OA•OB=3×1=3
∴OC=

3

∴3a=

3

，a=

3

3

．
∴a的取值范圍是0＜a≤

3

3

．

點評：考查一元二次方程的解法，函數圖象交點、二次函數的性質等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．