Question

（2009•防城港）如圖，⊙O的半徑為2，直徑CD經過弦AB的中點G，若的長等于圓周長的．
（1）填空：cos∠ACB=______

Answer 1

【答案】分析：連接OA，OB，由的長等于圓周長的知，∠AOB=360°÷6=60°，由圓周角定理知由特殊角的三角函數值知，cos∠ACB=cos30°=，由于直徑CD經過弦AB的中點G，根據垂徑定理知，OG⊥AB，點D是弧AB的中點，由圓周角定理知，∠ABD=∠ACD=30°，由正切的概念知，GD：GB=tan∠ABD=tan30°=．
解答：解：（1）∠AOB=360°÷6=60°．
∵∠BCD=∠ACD=30°，
cos∠ACB=cos30°=．

（2）解法一：連接OA、OB，則有OA=OB=2．（3分）
∵的長等于圓周長的，
∴∠AOB=360°×=60°．（4分）
∴△AOB是等邊三角形，∠OAB=∠OBA=60°．（5分）
∵直徑CD經過弦AB的中點G，∴CD⊥AB．
∴OG=OBsin60°=，GB=OBcos60°=1．（7分）
∴GD=OD-OG=2-．（8分）
∴=2-．（9分）
解法二：連接OA、OB，則有OA=OB=2．（3分）
∵的長等于圓周長的，
∴∠AOB=360°×=60°．（4分）
∵直徑CD經過弦AB的中點G，∴CD⊥AB．
∴∠BOG=∠AOB=30°．（5分）
∴GB=1，OG==（7分）
∴GD=OD-OG=2-（8分）
∴=2-．（9分）
點評：本題利用了周角的概念，圓周角定理，特殊角的三角函數值，垂徑定理，正切的概念求解．