Question

已知：如圖AC⊥AB于A，DB⊥AB于B，CP⊥PD于P，點P在AB上，且AP=BD．求證：△PCD為等腰直角三角形．

Answer 1

證明：∵AC⊥AB，DB⊥AB，CP⊥PD，
∴∠A=∠B=∠CPD=90°，
∴∠ACP+∠APC=90°，∠APC+∠BPD=90°，
∴∠ACP=∠BPC，
∵AP=BD，
∴△ACP≌△BPD（ASA），
∴CP=DP，
∴△PCD為等腰直角三角形．
分析：由AC⊥AB，DB⊥AB，CP⊥PD，可證得∠A=∠B=∠CPD=90°，又由同角的余角相等，即可求得∠ACP=∠BPC，又由AP=BD，根據ASA即可證得△ACP≌△BPD，則問題得證．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，以及等腰直角三角形的定義．解此題的關鍵是要注意同角的余角相等性質的應用．