Question

【題目】如圖1，在中，分別為上一點，且，，.

（1）求證：；

（2）求證：；

（3）若，將繞順時針旋轉至如圖2所示位置（不動），連，取中點，連,為射線上一點，連，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由可得，由可得，可證

（2）延長至，使，連，在上截取，連，可證：可得，可證：可得，故即可證

（3）延長至使，連，，延長，交于，交于

可證：，故，，，由（2）知，由于故可得故，故.故可證，可得，可證為正三角形，故，由于故即可求出的最小值.

（1）證明：

又

（2）證明：延長至，使，連，在上截取，連.

∵BD=CD,∠BDF=∠CDS

∴

∵∠TCD =∠EBC

∴∠TCD=∠DCS

∵TC=SC,CD=CD

∴

.

∴

（3）解：延長至使，

連，，延長，交于，交于

∵M是AC的中點

∴AM=MC

∵∠CME=∠SMA,EM=MS

∴，

，，，

由（2）知

.

在和中

為正三角形，

的最小值為