Question

矩形ABCD紙片的邊AB長為2cm，動直線l分別交AD、BC于E、F兩點，且EF∥AB；
（1）若直線l是矩形ABCD的對稱軸，且沿著直線l剪開后得的矩形EFCD與原矩形ABCD相似，試求AD的長？
（2）若使AD=+1cm，試探究：在AD邊上是否存在點E，使剪刀沿著直線l剪開后，所得到的小矩形紙片中存在與原矩形ABCD相似的情況．若存在，請求出AE的值，并判斷E點在邊AD上位置的特殊性；若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：（1）∵矩形EFCD∽矩形CBAD，
∴=，
又∵CD=AB=2，可設AD=2CF=2x，
∴=，
則：x=，
故：AD=2．

（2）假設存在矩形EFCD與矩形ABCD相似；
則DC必與AD對應，ED必與DC對應，
有：=，
∴DC²=AD•ED，
又∵DC=2cm，AD=+1cm，
∴ED===-1（cm）
∴AE=AD-（-1）=2，
而AE=2＞-1=ED，
依據對稱性考慮，必定存在當AE=-1時，使矩形EFBA與矩形ABCD相似的情形，
綜上述：當AE=-1或2時，在剪開所得到的小矩形紙片中必存在與原矩形相似；
且該兩種情形中，E剛好是邊AD的兩個黃金分割點．
分析：（1）先根據矩形EFCD∽矩形CBAD可得出兩矩形的對應邊成比例，再AD=2CF=2x，把CD、AB的值代入關系式即可得出x的值，進而可求出AD的值；
（2）假設存在矩形EFCD與矩形ABCD相似，則DC必與AD對應，ED必與DC對應，由相似多邊形的對應邊成比例即可得出ED的長，進而可得出AE的長，進而可得出結論．
點評：本題考查的是相似多邊形的性質，即相似多邊形的對應邊成比例．