Question

（2009•延慶縣一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，CA=12，∠ABC的平分線BD交AC于點D，DE⊥DB交AB于點E，⊙O是△BDE的外接圓，交BC于點F．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）連接EF，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，證OD⊥AC即可．
（2）可通過△BEF∽△BCA，從而根據相似比求得EF：AC的值．
解答：（1）證明：連接OD，
∵∠C=90^o
∴∠DBC+∠BDC=90°
又∵BD為∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠DBC．
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB．
∴∠ODB+∠BDC=90^o
∴∠ODC=90°
又∵OD是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線．

（2）解：∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圓，
∴BE是⊙O的直徑．
設⊙O的半徑為r，
∵AB²=BC²+CA²=9²+12²=225，
∴AB=15．
∵∠A=∠A，∠ADO=∠C=90^o
∴△ADO∽△ACB．
∴=，即=．
∴r=．
∴BE=．
又∵BE是⊙O的直徑，
∴∠BFE=90°
∴△BEF∽△BAC．
∴===．
點評：本題主要考查切線的性質，相似三角形的判定和性質等知識點，利用相似三角形得出線段間的比例關系進而求出線段的長是解題的關鍵．