Question

如圖，已知函數y=，點P為第一象限分支上一動點，以P為圓心1為半徑畫圓，當⊙P和x軸相切時，拋物線y=ax²+bx（a＞0，b＜0）與y=的圖象交于點P，與x軸交于A點．根據所給條件，解答下列問題：
（1）關于x的方程ax²+bx-=0的解為______；
（2）如果拋物線y=ax²+bx的對稱軸為x=1，求拋物線的解析式以及A點坐標；
（3）直接回答a的值能否為．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據⊙P和x軸相切可知點P的縱坐標是1，代入拋物線解析式求出x的值，即可得到點P的坐標，然后根據方程的解即為點P的橫坐標解答；
（2）根據對稱軸解析式與點A的坐標得到關于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值，即可得到拋物線解析式，然后令y=0，解關于x的一元二次方程即可得到點A的坐標；
（3）把點P的坐標代入拋物線，然后用b表示出a，再根據b＜0判斷出a的取值范圍，即可進行判斷．
解答：解：（1）∵⊙P和x軸相切時，⊙P的半徑為1，
∴點P的縱坐標為1，
當y=1時，=1，
解得x=3，
所以，點P的坐標是（3，1），
所以，方程的解是x=3；

（2）由（1）可知，點P（3，1），
又∵拋物線y=ax²+bx的對稱軸為x=1，
∴，
解得
所以，拋物線的解析式為y=x²-x，
令x²-x=0，
解得x₁=0，x₂=2，
所以，點A（2，0）；

（3）∵點P（3，1）在拋物線上，
∴9a+3b=1，
a=，
∵b＜0，
∴-b＞0，
∴1-3b＞1，
∴a＞，
∵＜，
∴a的值不能為．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要涉及直線與圓相切，利用圖象的交點求方程的解，待定系數法求二次函數解析式，以及拋物線與x軸的交點問題，都是基本應用，難度不大．