Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把邊長分別為x₁，x₂，x₃，…，x_n的n個正方形依次放入△ABC中：第一個正方形CM₁P₁N₁的頂點分別放在Rt△ABC的各邊上；第二個正方形M₁M₂P₂N₂的頂點分別放在Rt△AP₁M₁的各邊上，…，其他正方形依次放入．則第三個正方形的邊長x₃為

 

，第n個正方形的邊長x_n=

 

（n為正整數）．

Answer 1

分析：根據相似三角形的性質求出x₁，x₂，x₃…的值，找出規律即可求出第三、第n個正方形的邊長x₃、x_n．

解答：解：∵邊長分別為x₁，x₂，x₃，…，x_n的n個正方形，
∴BC∥P₁M₁∥P₂M₂…
∴△ABC∽△AP₁M₁∽△AP₂M₂…
∴x₁：BC=x₂：PP₁M₁=x₃：P₂M₂…，
又∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，
∴BN₁=0.5x₁，AM₁=2x₁
∴x₁=

2

3

∴x₃=1×(

2

3

)3=

8

27

，
∴x_n=1×(

2

3

)n=(

2

3

)n．
故答案是：

8

27

，(

2

3

)n．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質．此題屬規律性題目，解答此題的關鍵是求出x₁，x₃，x_n…的值，找出規律，根據此規律求解．