Question

如圖，矩形A′BC′O′是矩形ABCO繞點B順時針旋轉得到的．其中點O'，C在x軸負半軸上，線段OA在y軸正半軸上，B點的坐標為（-1，3）．
（1）如果二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過O、O′兩點且圖象頂點M的縱坐標為
-1．求這個二次函數的解析式；
（2）求邊O′A′所在直線的解析式；
（3）在（1）中求出的二次函數圖象上是否存在點P，使得，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BO、BO′，根據旋轉的性質可得BO=BO′，再根據對稱性可知OC=O′C，然后結合點B的坐標求出點O′的坐標以及頂點M的坐標，利用待定系數法求函數解析式即可；
（2）先利用角角邊證明△A′BD與△CO′D全等，根據全等三角形對應邊相等可得BD=O′D，然后在Rt△CDO′中，利用勾股定理求出CD的長度，即可得到點D的坐標，再利用待定系數法求出直線O′A′的解析式；
（3）先求出△CO′D的面積，然后根據拋物線的解析式設點P的坐標為（x，x²+2x），過點P作PQ⊥x軸交直線O′M于點Q，求出直線O′M的解析式，然后設出點Q的坐標為（x，-x-2），然后根據S_△PO′M=S_△PQM-S_△PO′Q，然后根據三角形的面積列式整理得到關于x的一元二次方程，求解即可得到點P的坐標．
解答：解：（1）如圖1，連接BO、BO′，由旋轉的性質得BO=BO′，
∵BC⊥OC，
∴O′C=OC，
∵點B的坐標為（-1，3），頂點M的縱坐標為-1，
∴點O′（-2，0），M（-1，-1），
∴，
解得，
∴這個二次函數的解析式為y=x²+2x；

（2）如圖1，在△A′BD與△CO′D中，
，
∴△A′BD≌△CO′D（AAS），
∴BD=O′D，
∴O′D=3-CD，
在Rt△CDO′中，O′D²=CD²+O′C²，
即（3-CD）²=CD²+1²，
解得CD=，
∴點D的坐標為（-1，），
設直線O′A′的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線O′A′的解析式為y=x+；

（3）如圖2，由點D的坐標為（-1，）可得S_△CO′D=O′C•CD=×1×=，
若存在點P，使得S_△PO′M=3S_△CO′D，則S_△PO′M=3×=2，
由O′（-2，0），M（-1，-1）得，，
解得，
∴直線O′M的解析式為y=-x-2，
設點P的坐標為（x，x²+2x），
過點P作PQ⊥x軸交O′M于點Q，則點Q的坐標為（x，-x-2），
∴S_△PO′M=S_△PQM-S_△PO′Q，
即S_△PO′M=[（x²+2x）-（-x-2）]•[（-1-x）-（-2-x）]=2，
整理得，x²+3x-2=0，
解得x=，
當x=時，y=x²+2x=，
當x=時，y=x²+2x=，
∴存在點P₁（，），P₂（，）．
點評：本題綜合考查了二次函數的問題，有旋轉變換的性質，待定系數法求二次函數解析式，求直線的解析式，全等三角形的判定與性質，三角形的面積，以及矩形的性質，綜合性較強，難度較大，（3）中利用函數解析式設點的方法比較重要，也是求解的關鍵．