Question

（2007•眉山）如圖，矩形A′BC′O′是矩形OABC（邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上）繞B點逆時針旋轉得到的，O′點在x軸的正半軸上，B點的坐標為（1，3）．
（1）如果二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過O，O′兩點且圖象頂點M的縱坐標為-1，求這個二次函數的解析式；
（2）在（1）中求出的二次函數圖象對稱軸的右支上是否存在點P，使得△POM為直角三角形？若存在，請求出P點的坐標和△POM的面積；若不存在，請說明理由；
（3）求邊C′O′所在直線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BO，BO′則BO=BO′，求出O′，M點坐標，列出方程組求出未知數的值，進而求出二次函數的解析式；
（2）設存在滿足題設條件的點P（x，y）連接OM，PM，OP，過P作PN⊥x軸，求出P點坐標和△POM的面積．
（3）已知O′（2，0），點D的橫坐標為1，由相似關系求其縱坐標，用待定系數法求解析式．
解答：解：（1）連接BO，BO′，則BO=BO′
∵BA⊥OO′
∴AO=AO′
∵B（1，3）
∴O′（2，0），M（1，-1），
∴，
解得a=1，b=-2，c=0，
∴所求二次函數的解析式為y=x²-2x．

（2）設存在滿足題設條件的點P（x，y），
連接OM，PM，OP，過P作PN⊥x軸于N，則∠POM=90°
∵M（1，-1），A（1，0），|AM|=|OA|
∴∠MOA=45°
∴∠PON=45°，
∴|ON|=|NP|即x=y
∵P（x，y）在二次函數y=x²-2x的圖象上
∴x=x²-2x
解得x=0或x=3
∵P（x，y）在對稱軸的右支上
∴x＞1
∴x=3y=3即P（3，3）是所求的點．
連接MO′，顯然△OMO′為等腰直角三角形．O′為滿足條件的點O′（2，0），
∴滿足條件的點是P（2，0）或P（3，3），
∴OP=3，OM=
∴S_△POM=OP•OM=3或S_△POM=OM•OM′=1；

（3）設AB與C′O′的交點為D（1，y）
顯然Rt△ADO′≌Rt△C′DB，
在Rt△ADO′中，AO′²+AD²=O′D²
即1+y²=（3-y）²
解得y=
∴D（1，），
設邊C'O'所在直線的解析式為y=kx+b則，
解得k=-，b=，
∴所求直線解析式為y=-x+．
點評：此題很復雜，結合了二次函數，一次函數及圖形的幾何變換，解答此題的關鍵是作出輔助線，結合直角三角形及全等三角形的性質解答，難度較大．