Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，∠EAF＝45°．

（1）如圖（1），試判斷EF，BE，DF間的數量關系，并說明理由；

（2）如圖（2），若AH⊥EF于點H，試判斷線段AH與AB的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE+DF＝EF理由見解析；（2）AH＝AB，理由見解析

【解析】

（1）延長FD到G，使DG＝BE，連接AG，證△GDA≌△EBA，△GAF≌△EAF，根據全等三角形的性質得出GD+DF＝BE+DF＝EF進而求出即可；

（2）把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABQ，如圖，根據旋轉的性質得AQ＝AF，∠FAQ＝90°，∠ABQ＝∠D＝90°，則可判斷點Q在CB的延長線上，由∠EAF＝45°得到∠QAE＝90°﹣∠EAF＝45°，然后根據“SAS”判斷△AEQ≌△AEF，得到EQ＝FE，再根據全等三角形對應邊上的高相等得到結論．

解：（1）BE+DF＝EF；

理由如下：

如圖1，延長FD到G，使DG＝BE，連接AG，

∵在△GDA和△EBA中，

，

∴△GDA≌△EBA（SAS），

∴AG＝AE，∠GAD＝∠EAB，

故∠GAF＝45°，

在△GAF和△EAF中，

∵，

∴△GAF≌△EAF（SAS），

∴GF＝EF，

即GD+DF＝BE+DF＝EF；

（2）AH＝AB，

理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∴把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABQ，如圖2，

∴AQ＝AF，∠FAQ＝90°，∠ABQ＝∠D＝90°，

而∠ABC＝90°，

∴點Q在CB的延長線上，

∵∠EAF＝45°，

∴∠QAE＝90°﹣∠EAF＝45°，

∴∠EAF＝∠QAE，

在△AEQ和△AEF中，

，

∴△AEQ≌△AEF（SAS），

∴EQ＝EF，

∵AB⊥EQ，AH⊥FE，

∴AB＝AH．