Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于D，過O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求證：ED是⊙O的切線；
（2）如果⊙O的半徑為，ED=2，求AB的長；
（3）在（2）的條件下，延長EO交⊙O于F，連接DF、AF，求△ADF的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，證明△ODE≌△OCE，∠ODE=∠C=90°，由切線的判定得出．
（2）由條件得出AB=2OE，而OE是Rt△ODE的斜邊，根據勾股定理求出．
（3）設EF與CD交于點G，S_△ADF=S_△ADG．
解答：解：（1）連接OD；
∵OE∥AB，
∴∠EOC=∠A，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠A，
∵∠EOC+∠DOE=∠DOC=∠ODA+∠A=2∠A，
∴∠DOE=∠A，
∴∠EOC=∠DOE，
在△OCE和△ODE中，

∴△OCE≌△ODE（SAS），
∴∠C=∠ODE=90°，
∴ED是⊙O的切線；

（2）∵OE∥AB，CO=OA，
∴CE=EB；
∴OE是△ABC的中位線；
∴AB=2OE；
在Rt△ODE中，
∵∠ODE=90°，OD=，DE=2，
∴OE=；
∴AB=5．

（3）設EF與CD交于點G，DG是Rt△ODE斜邊OE上的高；
∴DG==；
∴CD=2DG=；
Rt△ACD中，∠ADO=90°，AC=3，CD=，
∴AD=；
∴S_△ADF=S_△ADG=AD×DG=．
點評：此題考查了切線的判定、全等三角形的性質與判定、三角形中位線的性質及勾股定理的等知識．解題時要注意：連接過切點的半徑是有關切線知識的一種常用輔助線的作法．