Question

如圖，宜昌西陵長江大橋屬于拋物線形懸索橋，橋面（視為水平的）與主懸鋼索之間用垂直鋼拉索連接．橋兩端主塔塔頂的海拔高度均是187.5米，橋的單孔跨度（即兩主塔之間的距離）900米，這里水面的海拔高度是74米．若過主塔塔頂的主懸鋼索（視為拋物線）最低點離橋面（視為直線）的高度為0.5米，橋面離水面的高度為19米．請你計算距離橋兩端主塔100米處垂直鋼拉索的長．（結果精確到0.1米）

Answer 1

分析：拋物線問題一般應放在直角坐標系里解決，建立適當的坐標系，可以使拋物線解析式簡便，簡化運算．常見方法有：以拋物線對稱軸作為y軸（拋物線解析式缺少一次項），以拋物線頂點為坐標系的原點（拋物線解析式只有二次項），等等．選擇了坐標系，按照某些點的相對位置，象限確定點的坐標，求拋物線解析式，從而用拋物線解析式解決實際問題．

解答：解：（方法一）如圖，以橋面上位于主懸鋼索最低點的正下方一點坐標原點，以橋面（上豎直鋼拉索與橋面連接點）所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，
主塔塔頂距離橋面可由海拔高度計算：187.5-74-19=94.5m，BC縱坐標都是94.5
由于兩塔之間距離為900m，B、C兩點與A點距離相等，B橫坐標為-450，C點橫坐標為
450
則A（0，0.5），B（-450，94.5），C（450，94.5），
由題意，設拋物線為：y=ax²+0.5，
將C（450，94.5）代入求得：
a=

47

101250

或a=

94

4502

，
∴y=

47

101250

x2+0.5，
當x=350時，y=57.4．
∴離橋兩端主塔100米處豎直鋼拉索的長都約為57.4米．

（方法二）如圖，以拋物線形主懸鋼索最低點為原點，以平行于橋面的（豎直鋼拉索與橋面連接點所在的）直線為x軸建立平面直角坐標系，
則B（-450，94），C（450，94），
設拋物線為：y=ax²，
將C（450，94）代入求得：
a=

47

101250

或a=

94

4502

，
∴y=

47

101250

x2，
距離主塔100米處點的橫坐標是450-100=350，距離主塔50米處點的橫坐標是
450-50=400
當x=350時，y=56.9，當x=400時，y=74.3，（6分）
∴56.9+0.5=57.4，74.3+0.5=74.8．
∴離橋兩端主塔100米處豎直鋼拉索的長約為57.4米．

點評：本題建立直角坐標系有多種方法，拋物線的解析式形式也有多種，但是它們的二次項系數相同．