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如圖,宜昌西陵長江大橋屬于拋物線形懸索橋,橋面(視為水平的)與主懸鋼索之間用垂直鋼拉索連接.橋兩端主塔塔頂的海拔高度均是187.5米,橋的單孔跨度(即兩主塔之間的距離)900米,這里水面的海拔高度是74米.若過主塔塔頂的主懸鋼索(視為拋物線)最低點離橋面(視為直線)的高度為0.5米,橋面離水面的高度為19米.請你計算距離橋兩端主塔100米處垂直鋼拉索的長.(結果精確到0.1米)

【答案】分析:拋物線問題一般應放在直角坐標系里解決,建立適當的坐標系,可以使拋物線解析式簡便,簡化運算.常見方法有:以拋物線對稱軸作為y軸(拋物線解析式缺少一次項),以拋物線頂點為坐標系的原點(拋物線解析式只有二次項),等等.選擇了坐標系,按照某些點的相對位置,象限確定點的坐標,求拋物線解析式,從而用拋物線解析式解決實際問題.
解答:解:(方法一)如圖,以橋面上位于主懸鋼索最低點的正下方一點坐標原點,以橋面(上豎直鋼拉索與橋面連接點)所在的直線為x軸建立平面直角坐標系,
主塔塔頂距離橋面可由海拔高度計算:187.5-74-19=94.5m,BC縱坐標都是94.5
由于兩塔之間距離為900m,BC兩點與A點距離相等,B橫坐標為-450,C點橫坐標為
450
則A(0,0.5),B(-450,94.5),C(450,94.5),
由題意,設拋物線為:y=ax2+0.5,
將C(450,94.5)代入求得:


當x=350時,y=57.4.
∴離橋兩端主塔100米處豎直鋼拉索的長都約為57.4米.

(方法二)如圖,以拋物線形主懸鋼索最低點為原點,以平行于橋面的(豎直鋼拉索與橋面連接點所在的)直線為x軸建立平面直角坐標系,
則B(-450,94),C(450,94),
設拋物線為:y=ax2
將C(450,94)代入求得:


距離主塔100米處點的橫坐標是450-100=350,距離主塔50米處點的橫坐標是
450-50=400
當x=350時,y=56.9,當x=400時,y=74.3,(6分)
∴56.9+0.5=57.4,74.3+0.5=74.8.
∴離橋兩端主塔100米處豎直鋼拉索的長約為57.4米.
點評:本題建立直角坐標系有多種方法,拋物線的解析式形式也有多種,但是它們的二次項系數相同.
練習冊系列答案
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