Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，其對稱軸與x軸交于點D．

（1）求二次函數的解析式及其對稱軸；

（2）若點E是線段BC上的一點，過點E作x軸的垂線，垂足為F，且EF=2EC，求點E的坐標；

（3）若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，連接PA，PC，設點P的縱坐標為t，當∠APC不小于60°時，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），對稱軸為：直線；（2）；（3）0≤t≤2．

【解析】

（1）將A,B兩點坐標代入到二次函數解析式中進行求解；

（2）有多種方法進行求解，如根據△BFF∽△BCO，求出EF的長度，即求出E點縱坐標，將E點縱坐標代入到BC直線解析式后，求出其橫坐標即可得到E點坐標.

(3)引入圓，分點圓上，內，外進行分析.

（1）將A(，0)，B(，0)代入得

解得，∴

對稱軸為：直線．

（2）如圖所示．

∵CO⊥x軸，EF⊥x軸，

∴CO//EF.

∴△BEF∽△BCO.

∴.

設EC=m，則EF=2m.

由B(，0)，C(0，3)得BC=.

∴．

解得.

∴．

又由得，∴OF==．

∴

解法二：由B(，0)，C(0，3)得BC=，∴∠OBC=30，

設EC=m，則EF=2m，EB=6－m.

∴，解得.

∴.

利用三角函數求得BF=EF÷tan 30°=，∴OF==

∴

解法三：求出后，即E點的縱坐標為，

由B(，0)，C(0，3)得直線BC解析式為，

將yE=代入得xE=，∴(解法二、解法三參考解法一相應步驟給分)

（3）如圖2，由題意知∠CAO=60

作∠CAO的平分線AQ，交y軸于Q

則∠QAC=∠QCA=30

∴∠AQC=120

以Q為圓心，QA為半徑作圓，與拋物線對稱軸交于點M1，M2

當點M在圓上時，則∠AM1C=∠AM2C=∠AQC=60．

當點M在圓內時，∠AMC＞60，

當點M在圓外時，∠AMC＜60，

過Q作QH垂直于對稱軸．在Rt△AOQ中，求得AQ=2，

在Rt△M1QH中，M1H=

∴M1D=1+1=2，M2D=1－1=0

∴0≤t≤2．