Question

【題目】若二次函數的圖象的頂點在的圖象上，則稱為的伴隨函數，如是的伴隨函數．

（1）若函數是的伴隨函數，求的值；

（2）已知函數是的伴隨函數．

①當點（2，-2）在二次函數的圖象上時，求二次函數的解析式；

②已知矩形，為原點，點在軸正半軸上，點在軸正半軸上，點（6，2），當二次函數的圖象與矩形有三個交點時，求此二次函數的頂點坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①或；②頂點坐標是（1，3）或（4，6）．

【解析】

（1）將函數的圖象的頂點坐標是(1,1)，代入即可求出t的值;

(2)①設二次函數為，根據伴隨函數定義，得出代入二次函數得到：，把(2,-2)，即可得出答案；

②由①可知二次函數為，把(0,2)代入，得出h的值，進行取舍即可，把(6,2)代入得出h的值，進行取舍即可．

解：（1）函數的圖象的頂點坐標是(1,1)，

把，代入，得，解得：．

（2）①設二次函數為．

二次函數是的伴隨函數，，

二次函數為，

把，代入得，

，二次函數的解析式是或．

②由①可知二次函數為，

把(0,2)代入，得，

解得，

當時，二次函數的解析式是，頂點是(0,2)

由于此時與矩形有三個交點時只有兩個交點

∴不符合題意，舍去

∴當時，二次函數的解析式是，頂點坐標為(1,3)．

把(6,2)代入得，

解得，，

當時，二次函數的解析式是，頂點是(9,11)

由于此時與矩形有三個交點時只有兩個交點

∴不符合題意，舍去

∴當時，二次函數的解析式是，頂點坐標為(4,6)．

綜上所述：頂點坐標是(1,3)或(4,6)．